Tutaj pojawią się odpowiedzi do matury z matematyki w dniu 8 maja 2012 zaraz potym jak CKE opublikuje arkusze. Odpowiedzi będą dodawane na bieżąco więc odświężaj co jakiś czas tą stronę. ZACZYNAMY. Odpowiedzi matura z matematyki maj 2012! Odpowiedzi do zadań otwartych z matury z matematyki - maj 2012 poziom podstawowy Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 1. (0-1) Poprawna odpowiedź (1 p.) Wersja Wersja arkusza arkusza A B Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wykonanie obliczeń procentowych ( A D Zadanie 2. (0-1) Wykorzystanie Zastosowanie praw działań na potęgach i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych, obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym ( Zadanie 3. (0-1) Wykonanie obliczeń na liczbach Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia ( Zadanie 4. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie wartości logarytmu ( i interpretowanie reprezentacji Zadanie 5. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia wartości i interpretowanie reprezentacji bezwzględnej do rozwiązania równania typu x ? a ? b ( Zadanie 6. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie sumy rozwiązań równania i interpretowanie reprezentacji kwadratowego ( Zadanie 7. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 8. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie interpretacji i interpretowanie reprezentacji współczynników we wzorze funkcji liniowej ( A D Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych ( A B C B B A B C A A B C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 3 Zadanie 9. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 10. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 11. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie definicji do wyznaczenia i interpretowanie reprezentacji wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego ( Zadanie 12. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 13. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 14. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków ( D C D A B C B A Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych ( D B Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych ( C D Zadanie 15. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie związku między i interpretowanie reprezentacji promieniem koła opisanego na kwadracie i długością jego boku ( Zadanie 16. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Wykorzystanie związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta ( C B B C 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 17. (0-1) Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego ( C B Zadanie 18. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 19. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie objętości sześcianu i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie ( Zadanie 20. (0-1) Wykorzystanie Wyznaczenie wysokości stożka i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu ( Zadanie 21. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 22. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia układu i interpretowanie reprezentacji współrzędnych na płaszczyźnie ( Zadanie 23. (0-1) Wykorzystanie Zbadanie czy dany punkt spełnia i interpretowanie reprezentacji równanie okręgu ( Zadanie 24. (0-1) Wykorzystanie Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach i interpretowanie reprezentacji kombinatorycznych, stosowanie zasady mnożenia ( Zadanie 25. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym ( D A C B B D A D Wskazanie równania prostej równoległej do danej ( A B B C Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym ( B D A C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 5 Zadanie 26. (0-2) Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej ( i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: ? prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 ? ?5, x2 ? ?3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? rozłoży trójmian kwadratowy x 2 ? 8 x ? 15 na czynniki liniowe i zapisze nierówność ? x ? 3?? x ? 5? ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x1 ? 3, x2 ? 5, x ? ? ??,3? ? ? 5, ? ? albo 2 ? doprowadzi nierówność do postaci x ? 4 ? 1 (na przykład z postaci ? x ? 4 ? ? 1 ? 0 otrzymuje ? x ? 4 ? ? 1 , a następnie x ? 4 ? 1 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 2 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: ? ? ??, ?5 ? ? ? ?3, ? ? albo ? x ? ?5 lub x ? ?3 albo ? x ? ?5, x ? ?3 albo ? w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 ? ?5, x2 ? ?3 i zapisze, np. x ? ? ??, ?5 ? ? ? 3, ? ? popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ? ??, ?3? ? ? ?5, ? ? , to przyznajemy 2 punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 27. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej ( I sposób rozwiązania Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności: a?b?c a?b ? 3 2 Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6: 2 ? a ? b ? c? ? 3? a ? b? 2c ? a ? b Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c ? a oraz c ? b . Wobec tego 2c ? c ? c ? a ? b Co należało wykazać. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c ? a ? b lub ? c ? a ? ? ? c ? b ? ? 0 , Redukujemy wyrazy podobne: ?a ? b ? 2c ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności. lub II sposób rozwiązania Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na końcu dochodząc do drugiej. Założenie: 0 ? a ? b ? c a?b?c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a?b ? a? b? c ? a? b? b ? a? b ? a? b? b ? a? a? b ? a? b ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 6 2 2 2 2 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjściowej nierówności. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 7 Zadanie 28. (0-2) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki ( Uwaga Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 ) nie wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt. I sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? , gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu. Stąd W ( x) ? x3 ? x 2 ? ax 2 ? 12 x ? ax ? 12a = x3 ? ?1 ? a ? x 2 ? ? ?12 ? a ? x ? 12a , Porównując współczynniki wielomianu W ( x) otrzymujemy ?1 ? a ? 4 ? ??12 ? a ? ?9 ?12a ? ?36 ? Stąd a ? ?3 . Trzecim pierwiastkiem wielomianu W ( x) jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . II sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci iloczynu: W ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 36 ? x 2 ? x ? 4 ? ? 9 ? x ? 4 ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . Pierwiastkami wielomianu W ? x ? są zatem x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.: W ( x) ? ? x 2 ? 9 ? ? x ? 4 ? lub W ( x) ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? x ? 12 ? ? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . 8 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy III sposób rozwiązania Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 4? Liczba ? 4 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 4 ? . Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 3? . Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 3? x2 ? 7 x ? 12 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 3? ? x3 ? 3x 2 7 x2 ? 9 x ?7 x2 ? 21x 12 x ? 36 ?12 x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci x2 ?9 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 4? ?x3 ? 4x2 ? 9x ? 36 9x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci W ? x ? ? ? x ? 4? ? x ? 9? , 2 stąd W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . W ? x ? ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? . Wyznaczamy pierwiastki trójmianu x 2 ? 7 x ? 12 : x ? ? 4 i x ? ?3 . Liczby 3 i ?4 są pierwiastkami wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez ? x ? 3?? x ? 4 ? = x 2 ? x ? 12 . Dzielimy wielomian W ? x ? przez ? ? ?x 2 ? x ? 12 ? x ?3 ? x3 ? 4 x2 ? 9 x ? 36? : ? x2 ? x ? 12? x3 ? x 2 ? 12 x 3x 2 ? 3x ? 36 ?3x 2 ? 3x ? 36 ? ? ? Zatem W ? x? ? ? x2 ? x ?12? ? x ? 3? ? ? x ? 3?? x ? 4?? x ? 3? . Zatem pierwiastkami wielomianu są: x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 4 ? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 9 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 3? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 7 x ? 12 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez ? wykona dzielenie wielomianu przez x 2 ? x ? 12 , otrzyma iloraz ? ? ? x ? 3? i na tym ? x ? 4? lub ? x ? 3? , lub przez ?x 2 ? x ? 12 ? popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . Uwaga Dzieląc wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? p? 4 0 zdający może posłużyć się schematem -9 -9 - 36 0 Hornera, np. przy dzieleniu przez ? x ? 4 ? otrzymuje -4 1 1 IV sposób rozwiązania Korzystamy z jednego ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? ? 36 , stąd x3 ? ?3 1 lub ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? 4 , stąd x3 ? ?3 , 1 lub ?? 4? ? 3 ? ?? 4? ? x3 ? 3 ? x3 ? ? 9 . 1 Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście W ?? 3? ? 0 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x ? ?3 . 10 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 29. (0-2) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania ( I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: 10 ? 2 ? 2 . 2 ? ? ?2 ? Zatem współczynnik ? 1? kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy ? ? ? . Symetralna odcinka AB ? 2? 1 ? ?2 ? 2 2 ? 10 ? ma równanie y ? ? x ? b . Punkt S ? ? , ? ? ? 0, 6 ? jest środkiem odcinka AB . 2 ? 2 ? 2 1 Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc 6 ? ? ? 0 ? b . Stąd b ? 6 , a więc 2 1 symetralna odcinka AB ma równanie y ? ? x ? 6 . 2 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ? gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? oraz współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka albo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej albo ? gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 oraz współczynnik 1 kierunkowy prostej do niej prostopadłej a1 ? ? i na tym zakończy lub dalej 2 popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: y ? ? x ? 6 lub x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 II sposób rozwiązania Obliczamy współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? . Obliczamy współrzędne wektora ??? ? AB ? ?4,8? . Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB i przechodzi przez punkt S, więc jej równanie ma postać 4 ? x ? 0 ? ? 8 ? y ? 6 ? ? 0 , czyli x ? 2 y ? 12 ? 0 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy wyznaczy współrzędne wektora AB : AB ? ?4,8? oraz środek odcinka AB: S ? ?0,6 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 11 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub 1 y ? ? x?6. 2 III sposób rozwiązania Z rysunku w układzie współrzędnych y 11 10 9 8 7 6 5 4 y=2x+6 B S A 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 odczytujemy współrzędne punktu S ? ?0,6 ? , współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka 1 1 AB: a ? ? i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB : y ? ? x ? 6 . 2 2 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne środka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 IV sposób rozwiązania Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo oddalonych od jego końców. Jeśli punkt P ? ? x, y ? leży na symetralnej, to AP ? BP . Zatem ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ?10? , czyli ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? . Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? i na tym poprzestanie lub gdy zapisze równanie dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 2 2 2 2 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty. Zadanie 30. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego ( I sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? A ? ? ? ? B Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180? , więc w trójkącie ABC mamy 2? ? 2 ? ? ? ? 180? . Ponieważ ? ? 0? , więc 2? ? 2? ? 180? , stąd ? ? ? ? 90? . W trójkącie ABP mamy ? ? ? ? ? ? 180? . Stąd i z otrzymanej nierówności ? ? ? ? 90? wynika, że ? ? 90? . Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym. II sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? ? A ? ? ? ? B Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 13 Ponieważ ? ? ? ? 180? oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa 180? , więc otrzymujemy 1 1 1 ? ? 180? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? ? ?2? ? 2? ? ? ? ? ? 180? ? 90? . 2 2 2 ? Ponieważ ? ? 90 , więc ? jest kątem ostrym, zatem ? jest kątem rozwartym. Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty. Zadanie 31. (0-2) Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane ? x, y ? dwóch liczb ze zbioru ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? . Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa ? ? 7 ? 7 ? 49 . Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy: ? jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) albo ? jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa A ? ? 2 ? 7 ? 1? ? 2 ? 2 ? 17 . Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P ? A ? ? II sposób rozwiązania (metoda tabeli) 6 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 17 . 49 1 2 3 4 5 6 7 Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: ? - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A 17 . ? ? 7 ? 7 ? 49 i A ? 17 , zatem P ? A ? ? 49 14 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy ? obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: ? ? 7 2 ? 49 albo ? obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A ? 17 . Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gałęziami: 1 7 2 7 1 7 3 7 6 7 7 Dowolna z siedmiu 2, 4 2 7 3 7 3 1, 5, 7 1 7 3, 6 2, 4, 6 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) 1 7 2 2 1 3 3 1 17 jest więc równe: P ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 7 7 7 7 7 7 7 7 49 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo albo ? narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, 17 1 ? , to otrzymuje 2 punkty. np. P ( A) ? 49 3 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 15 Zadanie 32. (0-4) Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego ( I sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: x ? 9 ? 19 ? 14 . 2 42 ? 3. 14 Wiemy, że ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q ? Wobec tego y ? 3 ? 42 ? 126 i z ? 126 ? 3 ? 378 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q ? 3 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . II sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, zatem 2 x ? 9 ? 19 , x ? 14 . Ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem 422 ? 14 ? y i y 2 ? 42 ? z , y? 1764 ? 126 i 1262 ? 42 ? z , stąd z ? 378 . 14 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 , lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie x ? 14 i zapisanie równania 422 ? 14 y lub 1764 ? 14 y . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie y ? 126 i zapisanie równania y 2 ? 42 z lub 1262 ? 42z . 16 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . Uwaga Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 33. (0-4) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu ( Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów: a) obliczenie wysokości AE ostrosłupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa, c) obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa Podstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu, 4 mamy: 4 ? AB 2 , stąd AB ? ?2 2. 2 Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P ? 2 2 ? ? 2 ? 8 . b) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa Rysujemy trójkąt EAC. 8 3 ?4 3. 2 c) Obliczenie objętości ostrosłupa AE ? 1 32 3. Objętość ostrosłupa jest równa V ? ? 8 ? 4 3 ? 3 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt Obliczenie wysokości AE ostrosłupa: AE ? 4 3 albo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa: P? 2 2 ? ? 2 ?8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 17 Uwaga Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt 32 Obliczenie objętości ostrosłupa: V ? 3. 3 Uwaga 1 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie 3 doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje 3 punkty. Jeśli zdający pominie współczynnik Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość. Zadanie 34. (0-5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego ( I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 ? ? ? t ? 210 210 ? 24t ? ? 24 ? 210 t 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 . Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. 18 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy II sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ? 210 ? ? 1? ? ?v ? 24 ? ? 210 ? ? v ? 5040 210 ? ? v ? 24 ? 210 v 5040 ? v ? 24 ? 0 v ?v 2 ? 24v ? 5040 ? 0 ? ? 576 ? 20160 ? 1442 24 ? 144 24 ? 144 ? ?84 , v1 ? ? 60 , v2 ? ?2 ?2 v2 jest sprzeczne z warunkami zadania. 210 210 7 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t ? ? ? ? 3,5 . v 60 2 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. v+24 v t?1 t Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 24 ? t ? 1? ? 1 ? v . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem v ? t ? 24 ? t ? 1? ? t . Ponieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie 24 ? t ? 1? ? t ? 210 . Stąd 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 19 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny, a pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 godziny. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę, lub ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: ?t ? v ? 210 ?t ? v ? 210 ? lub ? ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ??t ? 1? ? ?v ? 24? ? 210 ? Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 lub ? 210 ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 lub 24 ? t ? 1? ? t ? 210 ? ? ? ? ? v ? ? t ? Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki .................................................................... 2 pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt ? rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny albo ? obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t ? 3,5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny. Uwagi 1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt. 20 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 v ? 24 ? t ?1 ?210 ? v ? t ? ? ?210 ? ? v ? 24 ? t ? 1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 210 ujął wyrażenia t ? 1 w nawias. Zapis równania v ? 24 ? wskazuje na poprawną t ?1 interpretację zależności między wielkościami. Przykład 2. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 ? v? 210 ? 120 210 ? t v ? 24 ? ? 24 ? ? 210 t ?1 ? t t? v ? 24 ? ? t ?1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 120 210 ? 24 ? zdający trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu t t? przestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 zamiast równania 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów. Komisje Egzaminacyjne - dane teleadresowe Centralna Komisja Egzaminacyjna kod: 00-190miejscowość: Warszawaadres: ul. Józefa Lewartowskiego 6kontakt tel.: (22) 53-66-500fax: (22) 53-66-504e-mail: ckesekr@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku kod: 80-874miejscowość: Gdańskadres: ul. Na Stoku 49kontakt tel.: (58) 32-05-590fax: (58) 32-05-591e-mail: komisja@ pracy: - 191687916NIP: 583-26-08-016 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie kod: 43-600miejscowość: Jaworznoadres: ul. Mickiewicza 4kontakt tel.: (32) 78-41-601fax: (32) 78-41-608e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie kod: 31-978miejscowość: Krakówadres: os. Szkolne 37kontakt tel.: (12) 68-32-101fax: (12) 68-32-100e-mail: oke@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi kod: 94-203miejscowość: Łódźadres: ul. Praussa 4kontakt tel.: (42) 63-49-133fax: (42) 63-49-154e-mail: komisja@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży kod: 18-400miejscowość: Łomżaadres: ul. Nowa 2kontakt tel.: (86) 21-64-495fax: (86) 473-71-20e-mail: sekretariat@ pracy: 8 - 16 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu kod: 61-655miejscowość: Poznańadres: ul. Gronowa 22kontakt tel.: (61) 85-40-160fax: (61) 85-21-441e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie kod: 00-844miejscowość: Warszawaadres: ul. Grzybowska 77kontakt tel.: (22) 45-70-335fax: (22) 45-70-345e-mail: info@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu kod: 53-533miejscowość: Wrocławadres: ul. Zielińskiego 57kontakt tel.: (71) 78-51-894fax: (71) 78 -51-866e-mail: sekretariat@ pracy: 8-16REGON: 931982940NIP: 895-16-60-154 Matura z matematyki na poziomie podstawowym jest ostatnim egzaminem pisemnym obowiązkowym dla maturzystów. Ostatnią obowiązkową dla wszystkich rzeczą w maturalnej rozpisce jest egzamin ustny Witam. Mam pytanie. Czy jeśli w zadaniu 32. podałem prawidłowe odpowiedzi, ale inaczej to obliczyłem to czy dostanę jakieś punkty? Inaczej w sensie po swojemu, a nie tak jak widzę to teraz w przykładach. Zadanie było tak banalne, że szło je obliczyć w głowie i niestety tylko tak potrafiłem. W ciągu arytmetycznym szło bardzo łatwo odgadnąć, że środkowy wyraz musiał wynosić \(\displaystyle{ 14}\), tak, żeby się zgadzało co \(\displaystyle{ 5}\), a potem w ciągu geometrycznym mając tą \(\displaystyle{ 14}\)-tkę i \(\displaystyle{ 42}\) podzieliłem po prostu \(\displaystyle{ \frac{42}{14}}\) i wyszło mi \(\displaystyle{ 3}\), więc później zrobiłem \(\displaystyle{ 42 \cdot 3}\) i to był trzeci wyraz ciągu, no i wynik tego jeszcze raz pomnożyłem przez \(\displaystyle{ 3}\). Otrzymane wyniki były poprawne i zapisałem je w odpowiedzi, jednak czy robiąc to tak po swojemu dostanę punkty? I ile? Chociaż w sumie nie ważne ile bo nawet jakbym miał te 4 pkt to i tak nie zdam. W zadaniu 31 zrobiłem głupi błąd, a mianowicie zrobiłem tą tabelkę, identycznie jak tu: , wszystko dobrze w niej zaznaczyłem, ale... liczby \(\displaystyle{ 36}\) policzyłem dwukrotnie i wyszło mi \(\displaystyle{ 18}\), a nie \(\displaystyle{ 17}\). Pomijając fakt, że źle to potem zapisałem, na odwrót w ułamku, czyli w liczniku dałem \(\displaystyle{ 49}\), a w mianowniku te błędne \(\displaystyle{ 18}\). Czyli tutaj będę miał 0 pkt? Więcej otwartych nie zrobiłem, próbowałem z ostatnim, ale jednak było zbyt skomplikowane i nie dało się tego na logikę wziąć... A z zamkniętych udało mi się spisać odpowiedzi w formie A,B,C,D na tej karteczce co została po naklejkach z peselem, żeby sobie w domu sprawdzić czy miałem dobrze, ale bez znaczenia bo w Internecie są arkusze z inaczej ułożonymi odpowiedziami. Np. w pierwszym zadaniu ja miałem odpowiedź 44% jako D, a w necie wszędzie jest jako A. Ma ktoś może odpowiedzi do mojego arkusza, żebym mógł sprawdzić ile dokładnie miałem dobrze? Bo z tego co próbuję sobie przypomnieć patrząc na odpowiedzi to ok. 9 pkt z zamkniętych będę miał. Reasumując... nie zdałem, ale to było oczywiste. Cholerna matma, musieli ją dowalić jako obowiązkową... Że też nie urodziłem się trzy lata wcześniej. Teraz pretensje do rodziców czy OKE? Ostatnio zmieniony 8 maja 2012, o 17:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy. Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: . Matura 2012. Matura 2021. RMF24. POZIOM PODSTAWOWY >>>> MATURA 2020. EGZAMIN z JĘZYKA ANGIELSKIEGO: POZIOM PODSTAWOWY. przed angielskim zmierzyli się ze sprawdzianami z języka polskiego
Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny (C) CKE 2010 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 18 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. 3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1-25) przenieś na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty pola do tego przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (26-34) może spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł dostać pełnej liczby punktów. 5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 10. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. MAJ 2012 Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-P1_1P-122 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (1 pkt) Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o A. 44% B. 50% C. 56% D. 60% Zadanie 2. (1 pkt) Liczba 3 ?? 8??1 ? 16 4 3 jest równa B. A. ? 8 ?4 C. 2 D. 4 Zadanie 3. (1 pkt) Liczba 3 ? 2 A. 19 ? 10 2 ? ? 2 ? 4 2 ? 2 jest równa B. 17 ? 4 2 C. 15 ? 14 2 D. 19 ? 6 2 ? ? Zadanie 4. (1 pkt) 3 Iloczyn 2 ? log 1 9 jest równy A. - 6 B. - 4 C. - 1 D. 1 Zadanie 5. (1 pkt) Wskaż liczbę, która spełnia równanie 3 x ? 1 ? 4 x . A. x ? ?1 B. x ?1 C. x ? 2 D. x ? ?2 Zadanie 6. (1 pkt) Liczby x1 , x 2 są różnymi rozwiązaniami równania 2x 2 ? 3x ? 7 ? 0 . Suma x1 ? x2 jest równa A. ? 7 2 B. ? 7 4 C. ? 3 2 D. ? 3 4 Zadanie 7. (1 pkt) A. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej y ? ?3? x ? 7 ?? x ? 2 ? są x ? 7, x ? ?2 B. x ? ?7, x ? ?2 C. x ? 7, x ? 2 D. x ? ?7, x ? 2 Funkcja liniowa f jest określona wzorem f ? x ? ? ax ? 6 , gdzie a ? 0 . Wówczas spełniony jest warunek A. f ?1? ? 1 Zadanie 8. (1 pkt) B. f ?2 ? ? 2 C. f ?3? ? 3 D. f ?4 ? ? 4 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 3 BRUDNOPIS 4 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 9. (1 pkt) Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ? 4, 4 ma dokładnie jedno miejsce zerowe. A. 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 B. y 4 3 2 1 x 1 2 3 4 y C. y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 x 4 D. 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 y Zadanie 10. (1 pkt) A. Liczba tg 30? ? sin 30? jest równa 3 ?1 B. ? 3 6 C. 3 ?1 6 D. 2 3 ?3 6 Zadanie 11. (1 pkt) W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i BC ? 12 . Wówczas sinus kąta ABC jest równy AB ? 13 oraz A. 12 13 B. 5 13 C. 5 12 D. 13 12 Zadanie 12. (1 pkt) W trójkącie równoramiennym ABC dane są Podstawa AB tego trójkąta ma długość A. 6 B. 2 21 AC ? BC ? 5 oraz wysokość CD ? 2 . C. 2 29 D. 14 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 5 BRUDNOPIS 6 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 13. (1 pkt) W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości 5 i 7. Obwód tego trójkąta jest równy A. 16 6 B. 14 6 C. 12 ? 4 6 D. 12 ? 2 6 Zadanie 14. (1 pkt) Odcinki AB i CD są równoległe i AB ? 5 , AC ? 2 , CD ? 7 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa A. B. 10 7 14 5 C. 3 D. 5 Zadanie 15. (1 pkt) Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5 jest równe A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 Zadanie 16. (1 pkt) Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACD jest równa A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? Zadanie 17. (1 pkt) Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 20? . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę A. 40? B. 50? C. 60? D. 70? Zadanie 18. (1 pkt) Dany jest ciąg ? an ? określony wzorem an ? (?1) n ? ciągu jest równy 3 A. ? 25 B. 2?n dla n ? 1 . Wówczas wyraz a5 tego n2 7 25 D. 3 25 C. ? 7 25 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 7 BRUDNOPIS 8 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 19. (1 pkt) Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe 4. Objętość tego sześcianu jest równa A. 6 B. 8 C. 24 D. 64 Zadanie 20. (1 pkt) Tworząca stożka ma długość 4 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45? . Wysokość tego stożka jest równa A. 2 2 B. 16? C. 4 2 D. 8? Zadanie 21. (1 pkt) Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x ? 6 y ? 7 ? 0 . 1 1 A. y ? x B. y ? ? x C. y ? 2 x D. y ? ?2 x 2 2 Zadanie 22. (1 pkt) Punkt A ma współrzędne ? 5, 2012 ? . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox, a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy. Punkt C ma współrzędne A. ? ?5, ?2012 ? B. ? ?2012, ?5 ? 2 2 C. ? ?5, 2012 ? D. ? ?2012,5? Zadanie 23. (1 pkt) A. A ? ? ?2,5 ? Na okręgu o równaniu ?x ? 2? ? ? y ? 7 ? ? 4 leży punkt B. B ? ? 2, ?5 ? C. C ? ? 2, ?7 ? D. D ? ? 7, ?2 ? Zadanie 24. (1 pkt) Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w 10 kolorach, jest równa A. 100 B. 99 C. 90 D. 19 Zadanie 25. (1 pkt) Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa A. 400 zł B. 500 zł C. 600 zł D. 700 zł Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 9 BRUDNOPIS 10 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 26. (2 pkt) Rozwiąż nierówność x 2 ? 8 x ? 15 ? 0 . Odpowiedź: .............................................................................................. . Zadanie 27. (2 pkt) Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0 ? a ? b ? c , to a?b?c a?b ? . 3 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 11 Zadanie 28. (2 pkt) Liczby x1 ? ? 4 i x2 ? 3 są pierwiastkami wielomianu W ? x ? ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 36 . Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu. Odpowiedź: .............................................................................................. . Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A ? ?? 2, 2 ? i B ? ?2,10 ? . Odpowiedź: .............................................................................................. . Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt 26. 2 27. 2 28. 2 29. 2 12 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 30. (2 pkt) W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty. Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 13 Zadanie 31. (2 pkt) Ze zbioru liczb ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6. Odpowiedź: .............................................................................................. . Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt 30. 2 31. 2 14 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, a ciąg ? x, 42, y, z ? jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z. Odpowiedź: .............................................................................................. Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 15 Zadanie 33. (4 pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4. Kąt ACE jest równy 60? . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE przedstawionego na poniższym rysunku. H E F G D A B C Odpowiedź: .............................................................................................. Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt 32. 4 33. 4 16 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Zadanie 34. (5 pkt) Miasto A i miasto B łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 17 Odpowiedź: .............................................................................................. Nr zadania Wypełnia Maks. liczba pkt egzaminator Uzyskana liczba pkt 34. 5 18 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy BRUDNOPIS Komisje Egzaminacyjne - dane teleadresowe Centralna Komisja Egzaminacyjna kod: 00-190miejscowość: Warszawaadres: ul. Józefa Lewartowskiego 6kontakt tel.: (22) 53-66-500fax: (22) 53-66-504e-mail: ckesekr@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku kod: 80-874miejscowość: Gdańskadres: ul. Na Stoku 49kontakt tel.: (58) 32-05-590fax: (58) 32-05-591e-mail: komisja@ pracy: - 191687916NIP: 583-26-08-016 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie kod: 43-600miejscowość: Jaworznoadres: ul. Mickiewicza 4kontakt tel.: (32) 78-41-601fax: (32) 78-41-608e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie kod: 31-978miejscowość: Krakówadres: os. Szkolne 37kontakt tel.: (12) 68-32-101fax: (12) 68-32-100e-mail: oke@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi kod: 94-203miejscowość: Łódźadres: ul. Praussa 4kontakt tel.: (42) 63-49-133fax: (42) 63-49-154e-mail: komisja@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży kod: 18-400miejscowość: Łomżaadres: ul. Nowa 2kontakt tel.: (86) 21-64-495fax: (86) 473-71-20e-mail: sekretariat@ pracy: 8 - 16 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu kod: 61-655miejscowość: Poznańadres: ul. Gronowa 22kontakt tel.: (61) 85-40-160fax: (61) 85-21-441e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie kod: 00-844miejscowość: Warszawaadres: ul. Grzybowska 77kontakt tel.: (22) 45-70-335fax: (22) 45-70-345e-mail: info@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu kod: 53-533miejscowość: Wrocławadres: ul. Zielińskiego 57kontakt tel.: (71) 78-51-894fax: (71) 78 -51-866e-mail: sekretariat@ pracy: 8-16REGON: 931982940NIP: 895-16-60-154 satelita protogwiazda Krzyż Południa Kompas Nauka - informacje Egzaminy/Matura Wzory matematyczne Korepetycje Słownik naukowy Leksykon astronomiczny Baza sprzętu laboratoryjnego Badania naukowe Jak to działa? Dotacje z Funduszu Inicjatyw Obywatelskich Wnioski o dofinansowanie projektów badawczych Kalendarium Szkolenia online Aparatura badawcza Prędkość Internetu Sprawdź IP
Historia sztuki, matura 2012, poziom podstawowy. Historia sztuki, matura 2012, poziom rozszerzony. matura 2011 maj. kierunki po maturze z matematyki i angielskiego Matura z matematyki, maj 2012 - poziom podstawowy. Liczba zdających: 374916. Średnia: 56%. Ilość zadań: 34. Do uzyskania: 50 punktów. Czas: 170 test z punktacją maturalną dostępny jest w aplikacji Matura - testy i zadania, gdzie mogliśmy także wprowadzić dodatkowe funkcje, np: odmierzanie czasu, dodawanie do powtórek, zapamiętywanie postępu i wyników czy notatnik. Dziękujemy także developerom z firmy Geeknauts, którzy stworzyli tą aplikację
Tuż po zakończeniu matury 2012 z matematyki - poziom podstawowy na naszym portalu zamieścimy arkusz testu CKE oraz klucz odpowiedzi. Znajdziecie je w tym artykule: Matura 2012 z matematyki.
Naszkicujmy opisany trójkąt prostokątnyZ definicji $\begin{gather*}\sin\beta=\frac{a}{c}\end{gather*}$, $\begin{gather*}\cos\alpha=\frac{a}{c}\end{gather*}$, czyli $\sin\beta=\cos\alpha$,co możemy podstawić do $\begin{gather*}\frac{\cos\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha}\end{gather*}$ otrzymując$\begin{gather*}\frac{\cos\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha}=2\end{gather*}$ Matura matematyka 2010 maj (poziom podstawowy) Matura: CKE Arkusz maturalny: matematyka podstawowa Matura podstawowa matematyka 2012 Matura podstawowa matematyka 2011 miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy @miodzio1988, nie narzekam na trzeci przedmiot, tylko na matematykę. I dla Twojej wiadomości tylko z matmy miałem dopy zawsze. I powtarzam, że nie wiem ile punktów za ustną i jak to jest liczone. ehem...Nie rozumiem co w tym fajnego, ale do rzeczy: z każdego innego przedmiotu mam dobre oceny, nawet z fizyki i chemii jakoś mi szło (tutaj akurat lenistwo, że mam dopy, ale rozumieć rozumiałem), I po co kłamać?Jedna pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. hahahahh świetna robota ... Co myślicie o tych zadaniach? smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: smigol » 21 sie 2012, o 13:44 Bardzo trudne zadania. Dla kogoś takiego jak Ty miodzio są pewnie proste. No, ale mi rodzice nie kazali liczyć delty w trakcie jedzenia obiadu. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 21 sie 2012, o 13:50 Masakra! Tak trudnej matury nie widziałem od wieków! Ale moment, moment... Ja nie lubię języka polskiego, a kurcze, musiałem go zdawać? Zacytuję moje słowa, bo widać, że o nich zapomniał: kamil13151 pisze:Grzechu_, Przestań już trollować. Wcale żadne pieniądze nie są potrzebne. Te forum stało się dla mnie korepetytorem. Przestań szukać przyczyn swojego nie zdania, bo to jest oczywiste, że to TY jesteś temu winien i nikt inny, ani nic. Jesteś po prostu totalnym LENIEM! Matura nie jest obowiązkowa. MadJack Użytkownik Posty: 270 Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Pomógł: 35 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: MadJack » 21 sie 2012, o 14:21 miodzio1988 pisze:A wiesz bejbe ile jest liczb całkowitych? Ależ ja wyraźnie słyszałem, że jest ich przeliczalnie wiele! Czyli logiczne, że da się je wszystkie przeliczyć, lol. Także nie martw się Grzechu_ i miodzia nie słuchaj. Twoje metody rozwiązywania zadań są logiczne i tylko przez nielogiczność matematyki jeszcze matury nie zdałeś. smigol pisze:ps. 2 poza tym na zdolności matematyczne decyduje płeć matki, a to nie moja wina, że mama ma płeć jaką ma. Jak dla mnie najlepszy tekst w tym temacie :> kamil13151, mi też się wydaje, że jest ona jeszcze prostsza niż w maju. Nie sądziłem, że to możliwe, a jednak miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 14:23 Jednak pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. Ja myślałem, że ten najlepszy W ogóle jakie dyskusje są fajne w necie na temat tego ostatniego zadania Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:22 Ja mam pytanie z jakich "znanych" na podstawie programowej własności i twierdzeń należało skorzystać aby rozwiązać zadanie dotyczące stosunku długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny do długości boku trójkąta? miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 22 sie 2012, o 00:24 rozwiązaniach gotowych w necie nie ma? W tych gotowych korzystali z czegoś bardzo trudnego? Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:37 Niczego bardzo trudnego nie było ale choćby wzór na długość promienia okręgu wpisanego w wymieniony w zadaniu trójkąt oczywistym chyba nie był. Zastanawiam się czy można było to zadanie w jakiś prosty sposób obliczyć - w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:03 ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. Tak, tak... ściemniaj dalej. Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 09:25 Ja rozumiem, że treści o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego ale nie zarzucaj mi kłamstwa. Zachęcam do zapoznania się z podręcznikami do liceum, zakres podstawowy, Matematyka z plusem, GWO - nie musisz tego robić, jednak wówczas nie masz żadnych podstaw aby zdanie: w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. uważać za niezgodne z prawdą (tj. stanem faktycznym). kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:55 w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. To jest prawdą, w książkach do rozszerzenia nawet tego nie spotkałem, jednak ta własność jest nam nie potrzebna. Ja Ci zarzuciłem kłamstwo czego innego: Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. To jest jak najbardziej podstawowy fakt i mogę się założyć, że w zeszycie (jeżeli taki prowadziłeś) są zadania z wykorzystaniem tej o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego To nie jest kółko poetyckie. Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:10 Witam. Bardzo Proszę o odpowiedź. W zadaniu 28 na poprawce wczorajszej z matematyki obliczyłem sumę początkowych sześciu ciągów i wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ 78}\), lecz nie zrobiłem tego według określonego wzoru tylko na logikę pomyślałem że \(\displaystyle{ r}\) będzie wynosić \(\displaystyle{ 4}\). Zapisałem po kolei że \(\displaystyle{ a_1=3, a_2=7, a_3=11}\) i tak do szóstego i następnie dodałem wszystko i wyszedł mi poprawny wynik. Problem w tym, że nie wiem czy będę mieć za to chociaż 1 w moim przypadku (decydujący ) punkt do zdania tej matury, gdy mam poprawny wynik ale innym sposobem. > Ostatnio zmieniony 22 sie 2012, o 19:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Brak LaTeXa. Proszę zapoznaj się z instrukcją: . kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 10:11 Kamil_kamil, obliczenie sześciu początkowych wyrazów ciągu i ich zsumowanie jest jak najbardziej poprawne, jednak można się doczepić do faktu "na logikę pomyślałem, że \(\displaystyle{ r=4}\)", czyli nie udowodniłeś tego? Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:16 właśnie w tym problem, że Nie :/ Jak myślisz dostane ten 1 punkt? :/
Język francuski, matura 2012, poziom podstawowy. Język francuski, matura 2012, poziom rozszerzony. kierunki po maturze z matematyki i angielskiego
Matura - arkusze maturalne pytania i odpowiedzi Przedmiot: Matematykapolecamy także: • Opis matury z matematyki • Testy z matematyki na podstawie matury • Zadania maturalne z matematyki ze wskazówkamiTermin: Rok 2012 maj - matura, główny terminPoziom: podstawowy» Galeria pytania, matematyka, poziom podstawowy, matura 2012 - pobierz w .pdfodpowiedzi, matematyka, poziom podstawowy, matura 2012 - pobierz w .pdfLink do testu online: Test z matematyki (online), matura 2012, maj - poziom podstawowy Udostępnij « powrót Rekrutacja na studia wg maturymatematyka (pp) wystarczy Znajdź kierunki studiów, w których w rekrutacji na studia mogą wystarczyć zdobyte punkty z egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym matematyka (pp) jest uwzględniana Znajdź kierunki studiów, w których zdana na maturze matematyka na poziomie podstawowym jest uwzględniana przy rekrutacji na studia matematyka (pr) jest uwzględniana Znajdź kierunki studiów, w których zdana na maturze matematyka na poziomie rozszerzonym jest uwzględniana przy rekrutacji na studiaRekrutacja na studia wg przedmiotów zdawanych na maturzeWyszukaj kierunki studiów i uczelnie, w których brany jest pod uwagę tylko 1 przedmiot zdawany na maturze na poziomie podstawowym (często uczelnie dają do wyboru kilka przedmiotów a wybieramy z nich jeden):Przykłady:kierunki studiów po maturze z polskiegokierunki studiów po maturze z matematykikierunki studiów po maturze z angielskiegokierunki studiów po maturze z francuskiegokierunki studiów po maturze z hiszpańskiegokierunki studiów po maturze z niemieckiegokierunki studiów po maturze z rosyjskiegokierunki studiów po maturze z włoskiegokierunki studiów po maturze z biologiikierunki studiów po maturze z chemiikierunki studiów po maturze z filozofiikierunki studiów po maturze z fizykikierunki studiów po maturze z geografiikierunki studiów po maturze z historiikierunki studiów po maturze z historii muzykikierunki studiów po maturze z historii sztukikierunki studiów po maturze z informatykikierunki studiów po maturze z WOSPoniżej podajemy wybrane linki do kierunki studiów na uczelniach, w których są brane pod uwagę wyniki tylko z dwóch przedmiotów zdawanych na maturze na poziomie podstawowym (często uczelnie dają wyboru więcej przedmiotów a wybieramy z nich dwa): Przykłady:kierunki po maturze z polskiego i matematykikierunki po maturze z polskiego i angielskiegokierunki po maturze z polskiego i historiikierunki po maturze z polskiego i wiedzy o społeczeństwiekierunki po maturze z matematyki i angielskiegokierunki po maturze z matematyki i fizykikierunki po maturze z matematyki i chemiikierunki po maturze z matematyki i informatykikierunki po maturze z biologii i chemiikierunki po maturze z biologii i angielskiego kierunki po maturze z chemii i angielskiegokierunki po maturze z biologii i geografiikierunki po maturze z chemii i geografii Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 14 Zadanie 32. (4 pkt) Punkty A 2,11 , B 8,23 , C 6,14 są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkta ą poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu D.
Proponuję cz I "Matury z matematyki" poziom podstawowy i rozszerzony, 2012, 2013, 2014. Stan -bdb. Cena 15 zł Proponuję też II część "Matury z matematyki". Autor: Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy. Stan książki idealny. Cena 20 zł. Zapraszam do obejrzenia innych moich ogłoszeń.
\n\n \n \n matura z matematyki 2012 poziom podstawowy
Matura z matematyki. Ile trwał egzamin z poziomu podstawowego? Czy uczniowie mogli korzystać z kalkulatora? Matura 2022: matematyka poziom podstawowy. Chcesz sprawdzić jak ci poszło? A może przekonać się, czy zdałbyś maturę z matematyki w 2022 roku? Sprawdź ; Kiedy reszta egzaminów maturalnych? Zobacz cały harmonogram
Skończyliście już pisać maturę z matematyki? Co było na teście, na poziomie podstawowym? Był łatwy, czy trudny. Swoje opinie wpisujcie w komentarzach! Naszej reporterce udało się już poznać opinie uczniów z X Liceum Ogólnokształcącego im. Królowej Jadwigi w Matura była banalna, dużo prostsza niż zeszłoroczna. Było 34 zadania, które łatwo się rozwiązywało - mówi Aleksander Galecki z 3b, klasy o profilu Matura nie była trudna - potwierdza Michał z 3e. - Zadanie za 5 punktów, mimo, że najwyżej punktowane było dość łatwe. Trzeba było obliczyć siłę, Wczoraj bardzo podobne znalazłem w internecie, gdy powtarzałem materiał - Jedynym zaskoczeniem było dla mnie zadanie z prawdopodobieństwa. Chodzi o losowanie 2 liczb całkowitych od 1 do 7, losujemy ze zwracaniem. Musieliśmy obliczyć prawdopodobiństwo iloczynu wylosowanych liczb podzielnych przez 6. Zadanie było za 2 punkty - opowiada Piotrek z Zaskoczeniem były zadnia typu „wykaż że” na maturze podstawowej. Na szczęście za te zadania były tylko po 2 punkty… Liczę na około 90 % - powiedziała Ania z 3bPolecane ofertyMateriały promocyjne partnera
4cpHW4O.
  • zgj5u3gkld.pages.dev/12
  • zgj5u3gkld.pages.dev/77
  • zgj5u3gkld.pages.dev/75
  • zgj5u3gkld.pages.dev/73
  • zgj5u3gkld.pages.dev/73
  • zgj5u3gkld.pages.dev/96
  • zgj5u3gkld.pages.dev/64
  • zgj5u3gkld.pages.dev/3

    • matura z matematyki 2012 poziom podstawowy